Câu hỏi:
Giúp em bài tập về nhà Toán lớp 9 câu hỏi như sau: Chứng minh:với n thộc N thì:
$1^3+2^3+3^3+4^3+…+n^3$ là số cp
Trả lời 2:
Gia Sư Hoàng Khang gữi câu trả lời dành cho bạn:
Chúng ta luôn có công thức 1^3 + 2^3 +3^3 +…… + n^3 = (1+2+3+……n)^2 , nhưng đề bài bắt chứng minh thì cứ quy nạp sử dụng thôi ạ !!!
Với n = 1 ; ta có 1^3 = 1^2 = 1 ( đúng )
Với n = 2 ; ta có 1^3 +2^3 = 1 + 8 = 9 = (1+2)^2 ( đúng )
Giả sử điều trên đúng với $n =k$ ; ta sẽ chứng minh với $n = k+1$ cũng đúng
Ta có
1^3 +2^3 + ….. +k^3 = ( 1 + 2 + ….. + k )^2
=> 1^3 + 2^3 +….. + k^3 + (k+1)^3 = ( 1 + 2 +….. +k )^2 + (k+1)^3
= (((k+1)k)/2)^2 + (k+1)^3
Cần chứng minh (((k+1)k)/2)^2 + (k+1)^3 = ( 1 + 2+ 3 + ……. + k + k +1)^2
Đẳng thức cần chứng minh tương đương
(((k+1)k)/2)^2 + (k+1)^3 = ( 1 + 2+ 3 + ……. + k + k +1)^2
=> (((k+1)k)/2)^2 + (k+1)^3 = (((k+1)k)/2)^2 + 2* (k(k+1))/2 * (k+1) + (k+1)^2
=> (k+1)^3 = k(k+1)^2 + (k+1)^2 = (k+1)^3
Đẳng thức được chứng minh
Vậy 1^3 + 2^3 +3^3 +…… + n^3 = (1+2+3+……n)^2 => Tổng trên là số chính phương
Trả lời 1:
Gia Sư Hoàng Khang gữi câu trả lời dành cho bạn:
Giải đáp:
Lời giải và giải thích chi tiết:
Ta có:
$n^3=\dfrac{2n^3+2n^3}{4}=\dfrac{n^4+2n^3+n^2-(n^4-2n^3+n^2)}{4}=\dfrac{(n^2+n)^2}{4}-\dfrac{(n^2-n)^2}{4}$
$⇒n^3=\left(\dfrac{n(n+1)}{2} \right)^2-\left(\dfrac{n(n-1)}{2} \right)^2$
Thay $n$ lần lượt bởi các giá trị từ 1 đến n ta được:
$1^3=\left(\dfrac{1.2}{2} \right)^2-\left(\dfrac{1.0}{2} \right)^2$
$2^3=\left(\dfrac{2.3}{2} \right)^2-\left(\dfrac{1.2}{2} \right)^2$
$3^3=\left(\dfrac{3.4}{2} \right)^2-\left(\dfrac{2.3}{2} \right)^2$
…………..
$n^3=\left(\dfrac{n(n+1)}{2} \right)^2-\left(\dfrac{n(n-1)}{2} \right)^2$
Cộng vế với vế:
$1^3+2^3+…+n^3=\left(\dfrac{n(n+1)}{2} \right)^2-\left(\dfrac{1.0}{2} \right)^2=\left(\dfrac{n(n+1)}{2} \right)^2$
Mà $n(n+1)$ luôn chẵn $⇒\dfrac{n(n+1)}{2}∈N$
$⇒\left(\dfrac{n(n+1)}{2} \right)^2$ là số chính phương hay $1^3+2^3+…+n^3$ là số chính phương
