Câu hỏi:
Giúp em bài tập về nhà Toán lớp 9 câu hỏi như sau: CHỨNG MINH CÔNG THỨC
S= CĂN P.(P-A)(P-B)(P-C) ĐÂY LÀ CÔNG THỨC HÊ RÔNG
KO DÙNG ĐƯỜNG TRÒN HÃY CM NÓ
Trả lời 2:
Gia Sư Hoàng Khang gữi câu trả lời dành cho bạn:
Áp dụng định lý $\cos$ ta có:
$c^2 = a^2 + b^2 – 2ab.\cos C$
$\Rightarrow \cos C = \dfrac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab}$
$\Rightarrow \sin C = \sqrt{1 -\cos^2 C} = \sqrt{1 – \dfrac{(a^2 + b^2 – c^2)^2}{4a^2b^2}}$
$\Rightarrow \sin C = \dfrac{\sqrt{4a^2b^2-(a^2 + b^2 – c^2)^2}}{2ab}$
Ta có:
$S = \dfrac{1}{2}ab\sin C$
$= \dfrac{1}{2}ab.\dfrac{\sqrt{4a^2b^2-(a^2 + b^2 – c^2)^2}}{2ab}$
$= \dfrac{1}{4}\sqrt{(2ab – a^2 – b^2 + c^2)(2ab + a^2 + b^2 – c^2)}$
$= \dfrac{1}{4}\sqrt{[c^2 -(a-b)^2][(a+b)^2-c^2]}$
$= \dfrac{1}{4}\sqrt{(c + a – b)(c – a + b)(a + b +c)(a + b -c)}$
$=\sqrt{\dfrac{a + b +c}{2}\cdot\dfrac{a + b – c}{2}\cdot\dfrac{b + c -a}{2}\cdot\dfrac{c + a -b}{2}}$
$= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
Với $p= \dfrac{a + b +c}{2}:$ nửa chu vi
Trả lời 1:
Gia Sư Hoàng Khang gữi câu trả lời dành cho bạn:
Lời giải và giải thích chi tiết:
Gọi $a,b,c$ lần lượt là $3$ cạnh của tam giác và $A, B, C$ lần lượt là các góc đối diện của cạnh.
$\to p=\dfrac{a+b+c}2$
Ta có:
$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ (Định lý cos)
$\to \cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
$\to \sin^2C=1-\cos^2C=\dfrac{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)}{4a^2b^2}$
$\to \sin^2C=\dfrac{(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)}{(2ab)^2}$
$\to \sin^2C=\dfrac{(2ab-(a^2+b^2-c^2))(2ab+(a^2+b^2-c^2))}{(2ab)^2}$
$\to \sin^2C=\dfrac{(2ab-(a^2+b^2)+c^2)(2ab+a^2+b^2-c^2)}{(2ab)^2}$
$\to \sin^2C=\dfrac{(c^2-(a^2-2ab+b^2))(a^2+2ab+b^2-c^2)}{(2ab)^2}$
$\to \sin^2C=\dfrac{(c^2-(a-b)^2)((a+b)^2-c^2)}{(2ab)^2}$
$\to \sin^2C=\dfrac{(c-(a-b))(c+(a-b))(a+b-c)(a+b+c)}{(2ab)^2}$
$\to \sin^2C=\dfrac{(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}{(2ab)^2}$
$\to (2ab)^2\sin^2C=(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)$
$\to (2ab\sin C)^2=(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)$
$\to (2ab\sin C)^2=16\cdot \dfrac{c-a+b}2\cdot \dfrac{c+a-b}2\cdot\dfrac{a+b-c}2\cdot\dfrac{a+b+c}2$
$\to (2ab\sin C)^2=16\cdot (\dfrac{a+b+c}2-a)\cdot (\dfrac{a+b+c}2-b)\cdot(\dfrac{a+b+c}2-c)\cdot\dfrac{a+b+c}2$
$\to (2ab\sin C)^2=16\cdot (p-a)(p-b)(p-c)p$
$\to 4(ab\sin C)^2=16p(p-a)(p-b)(p-c)$
$\to (ab\sin C)2=4p(p-a)(p-b)(p-c)$
$\to ab\sin C=\sqrt{4p(p-a)(p-b)(p-c)}$
$\to ab\sin C=2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
$\to \dfrac12ab\sin C=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
$\to S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ vì $S=\dfrac12ab\sin C$
$\to đpcm$
