Câu hỏi:
Giúp em bài tập về nhà Toán lớp 9 câu hỏi như sau: Cho x,y khác 0. Chứng minh rằng x^4 +y^4 ≤ x^6/y^2 +y^6/x^2
Trả lời 2:
Gia Sư Hoàng Khang gữi câu trả lời dành cho bạn:
Thực hiện BĐTĐ , ta có :
x^8 + y^8/x^2y^2 $\geq$ x^4 + y^4 <=> x^8 + y^8 $\geq$ x^6y^2 + y^6x^2 <=> x^6(x^2-y^2) – y^6(x^2-y^2) $\geq$ 0 <=> (x^6-y^6)(x^2-y^2) $\geq$ 0 <=> (x^2-y^2)^2 . (x^4 + x^2y^2 + y^4) $\geq$ 0 ( điều này luôn đúng với mọi x;y $\neq$ 0 ) ( đpcm )
Trả lời 1:
Gia Sư Hoàng Khang gữi câu trả lời dành cho bạn:
Lời giải và giải thích chi tiết:
Do $x,y$ khác $0$ nên $\dfrac{x^6}{y^2} , \dfrac{y^6}{x^2}, x^2y^2 $ đều dương.
Áp dụng BĐT AM – GM ta có :
$\dfrac{x^6}{y^2} + x^2y^2 ≥ 2\sqrt[]{\dfrac{x^6}{y^2}.x^2y^2} = 2x^4$
$\dfrac{y^6}{x^2} + x^2y^2 ≥ 2\sqrt[]{\dfrac{y^6}{x^2}.x^2y^2} = 2y^4$
$⇒\dfrac{x^6}{y^2} + \dfrac{y^6}{x^2} +2x^2y^2 ≥ 2x^4+2y^4$
$⇔ \dfrac{x^6}{y^2} + \dfrac{y^6}{x^2} ≥ (x^4+y^4)+(x^4+y^4-2x^2y^2)$
$ ⇔\dfrac{x^6}{y^2} + \dfrac{y^6}{x^2} ≥ (x^4+y^4)+(x^2-y^2)^2 ≥ x^4+y^4$
Dấu “=” xảy ra $⇔x=±y$
