Câu hỏi:
Giúp em bài tập về nhà Toán lớp 8 câu hỏi như sau: CM: a/b+c + b/c+a + c/a+b $\geq$ 1,5
Trả lời 2:
Gia Sư Hoàng Khang gữi câu trả lời dành cho bạn:
Bổ sung điều kiện: $a;\,b;\, c> 0$
Ta có:
$\dfrac{a}{b+c} +\dfrac{b}{c+a} +\dfrac{c}{a+b}$
$= \dfrac{a}{b+c}+1 +\dfrac{b}{c+a} +1+\dfrac{c}{a+b}+1- 3$
$=\dfrac{a+b+c}{b+c} +\dfrac{a+b+c}{c+a} +\dfrac{a+b+c}{a+b} -3$
$=(a+b+c)\left(\dfrac{1}{b+c} +\dfrac{1}{c+a} +\dfrac{1}{a+b}\right) -3$
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ ta được:
$\dfrac{1}{b+c} +\dfrac{1}{c+a} +\dfrac{1}{a+b}\geq \dfrac{(1+1+1)^2}{b + c + c + a + a + b}=\dfrac{9}{2(a+b+c)}$
$\to (a+b+c)\left(\dfrac{1}{b+c} +\dfrac{1}{c+a} +\dfrac{1}{a+b}\right) -3\geq (a+b+c)\cdot\dfrac{9}{2(a+b+c)}-3 = \dfrac32$
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$
Trả lời 1:
Gia Sư Hoàng Khang gữi câu trả lời dành cho bạn:
Áp dụng bđt Cauchy-schwarz dạng $Engel$
Ta có: VT=a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)
=a^2/(ab+ac)+b^2/(ab+bc)+c^2/(ac+bc)
≥(a+b+c)^2/[2(ab+bc+ca)]
Mà (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca)
⇔VT≥[3(ab+bc+ca)]/[2(ab+bc+ca)]=3/2
Dấu = xảy ra ⇔a=b=c
Vậy bđt được CM