Câu hỏi:
Giúp em bài tập về nhà Toán lớp 6 câu hỏi như sau: cho x,y là các số nguyên sao cho x^2-2xy-y và xy-2y^2-x đều chia hết cho 5.chứng minh ràng 2x^2+y^2+2x+y cũng chia hết cho 5
Trả lời 1:
Gia Sư Hoàng Khang gữi câu trả lời dành cho bạn:
Ta có: (x-y)(x-2y-1)=(xy-2$y^{2}$-x)+($x^{2}$-2xy-y) chia hết cho 5
Do đó trong 2 số (x-y); (x-2y-1) phải có ít nhất một số chia hết cho 5.
TH1: (x-y) $\vdots$ 5 ⇒ y $\equiv$ -x (mod 5) ⇒ 0 $\equiv$ $x^{2}$ -2xy-y$\equiv$$x^{2}$+2$x^{2}$ +x $\equiv$ x(3x+1) (mod 5)
Do đó x chia hết cho 5 hoặc x chia 5 dư 3.
+ Nếu x chia hết cho 5 thì y chia hết cho 5 nên (x+y) chia hết cho 5 nên 2$x^{2}$+$y^{2}$+2x+y cũng chia hết cho 5
+ Nếu x chia cho 5 dư 3 thì y chia 5 dư 2 nên (x+y) chia hết cho 5 nên 2$x^{2}$+$y^{2}$+2x+y $\equiv$ 2.$3^{2}$+$2^{2}$+2.3+2 $\equiv$ 0 (mod 5)
TH2: Ta có: (x-2y-1) $\vdots$ 5 ⇒ x$\equiv$ 2y+1 (mod 5)
⇒ 0 $\equiv$ $x^{2}$-2xy-y$\equiv$ $(2y+1)^{2}$-2y(2y+1)-y $\equiv$ (y+1) (mod 5)
Do đó x chia cho 5 dư 4 và y chia cho 5 dư 4
Suy ra: 2$x^{2}$+$y^{2}$+2x+y $\equiv$ 2.$4^{2}$+ $4^{2}$+2.4+4 $\equiv$ 0 (mod 5)
Vậy yêu cầu thỏa mãn
