Câu hỏi:
Giúp em bài tập về nhà Toán lớp 12 câu hỏi như sau: tính tích phân từ 0 đến pi/3 của sinx/(cosx+2sinX)dx
Trả lời 1:
Gia Sư Hoàng Khang gữi câu trả lời dành cho bạn:
Giải đáp:
${{2\pi } \over {15}} – {1 \over 5}\ln {{1 + 2\sqrt 3 } \over 2}$
Lời giải và giải thích chi tiết:
Ta có:
$\eqalign{
& \int\limits_0^{{\pi \over 3}} {{{\sin x} \over {\cos x + 2\sin x}}} dx \cr
& = \int\limits_0^{{\pi \over 3}} {{{{2 \over 5}(\cos x + 2\sin x)} \over {\cos x + 2\sin x}}} dx – \int\limits_0^{{\pi \over 3}} {{{{1 \over 5}(2\cos x – \sin x)} \over {\cos x + 2\sin x}}dx} \cr
& = {2 \over 5}\int\limits_0^{{\pi \over 3}} {dx} – {1 \over 5}\int\limits_0^{{\pi \over 3}} {{{d(2\sin x + \cos x)} \over {\cos x + 2\sin x}}} \cr
& = {2 \over 5}x\left| {\matrix{
{{\pi \over 3}} \cr
0 \cr
} – {1 \over 5}\ln \left| {\cos x + 2\sin x} \right|\left| {\matrix{
{{\pi \over 3}} \cr
0 \cr
} } \right.} \right. \cr
& = {2 \over 5}.{\pi \over 3} – {1 \over 5}\ln \left| {{1 \over 2} + \sqrt 3 } \right| + {1 \over 5}\ln \left| {1 + 0} \right| \cr
& = {{2\pi } \over {15}} – {1 \over 5}\ln {{1 + 2\sqrt 3 } \over 2} \cr} $
