Toán Lớp 12: Kí hiệu D min là khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số y = 1/3x^3 – mx^2 -x +m+1. Tìm D min

Câu hỏi:
Giúp em bài tập về nhà Toán lớp 12 câu hỏi như sau: Kí hiệu D min là khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số y = 1/3x^3 – mx^2 -x +m+1. Tìm D min

---

Trả lời 1:
Gia Sư Hoàng Khang gữi câu trả lời dành cho bạn:

Giải đáp:

GTNN$D={\displaystyle \frac{2\sqrt{13}}{3}}$ khi $m=0$

Lời giải và giải thích chi tiết:

$y = \dfrac13.x^3 – mx^2 -x +m+1$

$y^{\prime }=x^2-2mx-1$ $({\mathrm{\Delta }}^{\prime }=m^2+1>0$ luôn có 2 điểm cực trị$)$

$y=y^{\prime }({\displaystyle \frac{1}{3}}.x-{\displaystyle \frac{1}{3}}.m)-{\displaystyle \frac{2+2m^2}{3}}x+{\displaystyle \frac{2}{3}}.m+1$

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là

$y=-{\displaystyle \frac{2}{3}}(1+m^2)x+{\displaystyle \frac{2}{3}}m+1$

Gọi $A(x_1;y_1),B(x_2;y_2)$

$\Rightarrow AB=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

$=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+{\left[-{\displaystyle \frac{2}{3}}(1+m^2)\right]}^2(x_2-x_1{)}^2}$

$=\sqrt{\left[1+{\displaystyle \frac{4}{9}}(1+m^2{)}^2\right](x_2-x_1{)}^2}$

$=\sqrt{{\displaystyle \frac{9+4(1+2m^2+m^4)}{9}}\left[(x_1+x_2{)}^2-4x_1.x_2\right]}$

$=\sqrt{{\displaystyle \frac{9+4+8m^2+4m^4}{9}}(4m^2+4)}$

$={\displaystyle \frac{\sqrt{\left[9+4(1+m^2{)}^2\right](4m^2+4)}}{3}}$

$={\displaystyle \frac{2}{3}}\sqrt{9(m^2+1)+4(m^2+1{)}^3}$

Do $m^2+1\ge 1$ $\mathrm{\forall }m$

$\Rightarrow \sqrt{9(m^2+1)+4(m^2+1{)}^3}\ge \sqrt{9+4}=\sqrt{13}$

$\Rightarrow d\ge {\displaystyle \frac{2\sqrt{13}}{3}}$

Dấu “=” xảy ra $\iff m=0$

---