Câu hỏi:
Giúp em bài tập về nhà Toán lớp 12 câu hỏi như sau: Cho F(x) = (ax^2 + bx – c)e^2x là một nguyên hàm của hàm số f(x) = (2018x^2 – 3x+ 1)e^2x trên khoảng âm vô cùng đến dương vô cùng. Tính T = a+ 2b -c
Trả lời 1:
Gia Sư Hoàng Khang gữi câu trả lời dành cho bạn:
Ta có
$\int (2018x^2 – 3x + 1) e^{2x} dx = \dfrac{1}{2} \int (2018x^2 – 3x + 1) d(e^{2x})$
Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có
$2\int (2018x^2 – 3x + 1) e^{2x} dx = (2018x^2 – 3x + 1) e^{2x} – \int e^{2x} d(2018x^2 – 3x + 1)$
$= (2018x^2 – 3x + 1) e^{2x} – \int (4036x – 3) e^{2x}dx$
$= (2018x^2 – 3x + 1) e^{2x} – \dfrac{1}{2} \int (4036x-3)d(e^{2x})$
Áp dụng tích phân từng phần 1 lần nữa ta có
$2\int (2018x^2 – 3x + 1) e^{2x} dx =(2018x^2 – 3x + 1) e^{2x} – \dfrac{1}{2} [(4036x-3).e^{2x} – \int e^{2x} d(4036x-3)]$
$= (2018x^2 – 3x + 1) e^{2x} – \dfrac{1}{2} [(4036x-3).e^{2x} – 4036 \int e^2x dx]$
$= (2018x^2 – 3x + 1) e^{2x} – \dfrac{4036x-3}{2}e^{2x} -4036 e^{2x}$
$= (2018x^2 -2021x -\dfrac{8067}{2}) e^{2x}$
Do đó
$\int (2018x^2 – 3x + 1) e^{2x} dx = (1009x^2 -\dfrac{2021}{2}x -\dfrac{8067}{2}) e^{2x}$
Vậy $a = 1009$, $b = -\dfrac{2021}{2}$, $c = -\dfrac{8067}{2}$
Suy ra
$T = a + 2b – c = \dfrac{6043}{2}$
