Câu hỏi:
Giúp em bài tập về nhà Toán lớp 10 câu hỏi như sau: Cho tam giác ABC, chứng minh : sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
Trả lời 1:
Gia Sư Hoàng Khang gữi câu trả lời dành cho bạn:
Lời giải:
Theo tính chất tổng ba góc trong một tam giác ta có
$A+B+C = \pi\Rightarrow C=\pi – (A+B)$
$\Rightarrow \sin(A+B) = \sin C , \cos(A+B) = -\cos C$
Ta có:
$\sin2A+\sin2B+\sin2C$
$ =2\sin(A+B)\cos(A-B) + 2\sin C\cos C$
$ =2\sin C \cos(A-B)+2\sin C\cos C$
$ =2\sin C \left[{ \cos(A-B) + \cos C}\right]$
$ =2\sin C\left [{ \cos (A-B) – \cos(A+B)}\right]$
$ =2\sin C.2\sin A\sin B$
$ =4\sin A\sin B\sin C$
Giải thích:
Sử dụng:
Công thức biến đổi tổng thành tích:
$\sin a+\sin b=2\sin\dfrac{a+b}2\cos\dfrac{a-b}2$
$\cos a-\cos b=-2\sin\dfrac{a+b}2\sin\dfrac{a-b}2$
Công thức nhân đôi:
$\sin 2a=2\sin a\cos a$
